Essere o non essere, questo è il problema!

di Luca Granieri.

Gli orsi polari esistono. Forse ancora per poco ma comunque esistono.

Gli unicorni, a quanto pare, non esistono. Alcuni filosofi potranno anche dissentire, ma in linea di massima, almeno su cose concrete come queste, possiamo tutti essere più o meno d’accordo. Ma quando rivolgiamo l’attenzione a cose più astratte la faccenda si complica alquanto.

Dio esiste o non esiste? Su quale possibilità scommettereste, ci chiederebbe B. Pascal? ([6, Cap. 11]). D’altra parte, Dio stesso, rispondendo a Mosé dal roveto ardente (Esodo 3, 13-14) in fondo ci tiene proprio a puntualizzare in qualche modo la propria esistenza. Del resto, anche la questione metafisica per eccellenza: Perché esiste qualcosa anziché il nulla? costituisce alla fine un problema di esistenza. Non bisogna pensare però che le questioni di esistenza siano interesse esclusivo di teologi e/o filosofi. Anzi, man mano che l’impresa scientifica avanza, e divenendo più astratta, tali questioni acquistano maggiore rilevanza. Come facciamo infatti a sapere che ad esempio quark e buchi neri esistono?

Rivolgendoci alla scienza, non possiamo non imbatterci nella matematica che tratta di quanto più astratto non si può. La questione obbligata é allora: In che senso gli oggetti matematici esistono? Sebbene se ne discuta da millenni, la questione è  tutt’altro che archiviata, specialmente rispetto al fondamentale quesito: La matematica è scoperta o invenzione?

Il tema della scoperta rimanda ad una tradizione filosofica che potrebbe considerarsi di stampo platonico. Gli oggetti matematici esisterebbero in un mondo a sé, magari accessibile con il solo pensiero. Compito del matematico è penetrare in questo mondo per scoprirlo. In questo senso, il matematico scopre un teorema in modo più o meno analogo a come Colombo scoprì l’America.

Il tema dell’invenzione rimanda invece ad una tradizione, più o meno vicina a posizioni di stampo aristotelico, secondo la quale gli oggetti matematici sarebbero in qualche modo costruiti artificialmente per astrazioni successive, magari partendo da procedure concrete.

Forse, la matematica potrebbe essere entrambe le cose, un po’ inventata ed un altro po’ scoperta. Su queste questioni si veda ad esempio [8,3,7,11].

Naturalmente, i riferimenti a Platone e ad Aristotele sono piuttosto approssimativi e di certo opinabili. Ma, come talvolta si dice, la matematica non è un’opinione!

Comunque stiano le cose, come fanno i matematici a sapere che qualcosa esiste davvero? In effetti, non bisogna pensare che le questioni di esistenza siano un lusso o una sofisticheria inutile. Si consideri infatti il seguente

(Paradosso di Perron) Il più grande numero intero è 1.

Dimostrazione. Sia N il più grande numero intero. Poiché 1 è un numero intero, allora 1 ≤ N. D’altra parte, se fosse 1<N, moltiplicando per N si otterrebbe N < N2, che contraddice il fatto che N è il più  grande tra tutti i numeri. Allora dev’essere N = 1.

Naturalmente, i problemi nel ragionamento precedente sono proprio nella premessa, nel fatto cioé che il numero più grande tra tutti i numeri esista davvero.

Pertanto, chiarire qualche idea sul problema dell’esistenza è piuttosto importante.

1. Costruttivo o non-costruttivo?

Un primo modo per stabilire l’esistenza di un oggetto è quello di esibirlo, costruirlo. Come ci ha insegnato Euclide, in questo senso, il triangolo equilatero esiste perché lo possiamo costruire, ad esempio utilizzando riga e compasso. Da questo punto di vista (costruttivismo) lo Yeti esisterebbe se fossimo in grado di trovarlo, fotografarlo e magari toccarlo con mano.

Ma lo stesso Euclide contempla un altro modo, forse più esoterico, per stabilire l’esistenza di qualcosa. Ad esempio, quando oggi si afferma che Esistono infiniti numeri primi ( [1, Cap. 1] per la rassegna di sei diverse dimostrazioni), tali  numeri, infiniti, esistono non perché si possa dire costruttivamente chi siano, ma perché Euclide ci ha mostrato che non può che essere così, poiché altrimenti la matematica sarebbe contraddittoria. E in una teoria contraddittoria, per la legge di Duns Scoto (vedi [5, cap. 1]), è vero tutto e il contrario di tutto. Allora, in questo senso, lo Yeti esisterebbe non perché lo abbiamo catturato, ma perché altrimenti il mondo non sarebbe quello che è e due più due non farebbe quattro. Può sembrare strano, ma molti risultati importanti della scienza si basano proprio su questo modo di pensare, spesso e volentieri non-costruttivo.

Tuttavia, in matematica non sempre è facile (o possibile) distinguere ciò che è costruttivo da quello che non lo è. L’argomento di Euclide sui numeri primi può ad esempio essere considerato in prima battuta non costruttivo in quanto si limita a dire che data una qualunque lista di numeri primi, esiste un non meglio specificato numero primo che non si trova nella lista di partenza. Se ad esempio in questa lista ci sono diciamo i numeri primi p1, p2, p3, p4, allora Euclide considera il nuovo numero

p = p1 · p2 · p3 · p4 + 1

ottenuto moltiplicando i numeri primi dati tra loro e poi aggiungendo uno. Questo nuovo numero p è senz’altro più grande di tutti i primi di partenza. Ora, se p è primo allora abbiamo trovato un primo (lo stesso p) che non era nella lista. Se invece p non è primo, poiché ogni numero è prodotto di numeri primi, allora p è divisibile per qualche numero primo. Ma non essendo divisibile per nessun primo della lista data, essendo il resto della divisione sempre pari ad uno, allora ci dev’essere comunque qualche altro primo che non si trova nella lista data. Ingegnoso, senza dubbio.

Tuttavia, l’argomento di Euclide pone un limite superiore entro cui è possibile trovare questi nuovi primi che ampliano la lista di partenza.

Ad esempio, dati i numeri primi 2, 3, 5, 7, l’argomento di Euclide prova che esiste almeno un altro primo più piccolo di 211 = 2 · 3 · 5 · 7 + 1.

E questo primo può essere determinato con un metodo costruttivo, ad esempio con il crivello di Eratostene. Quest’ultimo consiste nel depennare dalla lista di numeri interessata, nel nostro esempio quella dei numeri fino a 211, tutti i multipli di due, poi tutti i multipli di tre, poi tutti i multipli di cinque, e così via. I numeri che sopravvivono a questa operazione sono solo e soltanto i numeri primi di quella lista. In questa prospettiva, l’argomento euclideo, o meglio l’argomento euclideo unito al crivello di Eratostene, può essere considerato in qualche misura costruttivo. In effetti, il fatto che un metodo costruttivo, come ad esempio il crivello di Eratostene, sia in grado in linea di principio di trovare sempre nuovi primi è alla fine garantito da un argomento non costruttivo, ovvero dal fatto di sapere che la lista dei numeri primi non si esaurisce mai. Pertanto, il crivello di Eratostene ci dovrà indicare un primo minore di 211 diverso da 2, 3, 5, 7. Altrimenti, senza questa garanzia, avremmo potuto trascorrere molto tempo  calcolando senza alla fine trovare niente di nuovo.

2. Per assurdo

Il tipico modo per ottenere risultati non-costruttivi è tramite la cosiddetta dimostrazione per assurdo, che tra l’altro abbiamo già utilizzato nello stabilire il paradosso di Perron.

Nei giochi a quiz ogni domanda è corredata da una lista di possibili risposte, composta ad esempio  da quattro alternative. Ovviamente, se il concorrente conosce la risposta giusta dà questa risposta e tutto finisce lì. Questo è un metodo diretto per risolvere la questione.

Ma c’è anche un altro modo, più indiretto, per rispondere. Sherlock Holmes, il famoso detective, in una sua avventura affermò: quando si sia escluso l’impossibile, ciò che resta, per quanto improbabile, è pur sempre la verità. Mi pare di aver sentito anche il vulcaniano Spock affermare qualcosa del genere nel film alla ricerca di Spock della saga Star Trek. E se lo dice Spock c’è da fidarsi!

D’altronde, il ragionamento di Holmes è limpido:  si tratta di un ragionamento per esclusione. Io non conosco la risposta esatta. Ma so che esiste una sola risposta corretta. Allora, se riesco ad escludere tre risposte su quattro perché non possono essere la risposta giusta, quella che resta, per quanto bizzarra possa essere, deve essere la risposta giusta. E il gioco è fatto. Dovrebbe essere chiaro anche perché si tratta di un metodo indiretto. Diamo la risposta giusta non perché conosciamo la risposta esatta, ma soltanto perché le altre risposte non possono esserlo. Del resto, questo succede spesso quando ad esempio andiamo dal medico. Dopo il colloquio e la visita, anche se non ce lo dice, spesso il medico continua a non sapere da quale malattia siamo affetti. Allora, in base ai sintomi, dentro di sé può pensare qualcosa del genere: Ok, quindi può essere una infezione di questo batterio, o di un certo virus, che potrebbe passare da sola tra qualche giorno, o la malattia cavolina (una malattia che mi sto inventando al momento e che si cura mangiando cavolo per un mese). Va bene, allora gli prescrivo un antibiotico. Intanto, l’effetto placebo qualcosina può sempre fare. Comunque sia, alla fine della cura, se il paziente è guarito tanto di guadagnato. Se non è guarito gli faccio mangiare cavoli a merenda. Se poi i sintomi persistono mi rivolgo allora all’antivirale. Se poi il paziente muore allora cosa volete da me? Sono un povero dottore non un mago! (… segue …)

Leggi l’articolo completo: Luca Granieri, Essere o non essere, questo è il problema!, in Scienze e Ricerche n. 24, 1° marzo 2016, pp. 71-74