La formula matematica che unifica le forme naturali e astratte

La materia animata e inanimata si organizza in innumerevoli varietà di strutture la cui forma, essendo regolata dalle leggi della natura, è oggetto di studio della fisica e della matematica. Interpretate partendo dai loro aspetti matematici e fisici, le differenti forme della natura sono il risultato di un compromesso tra le risposte adattative specifiche per ciascuna pressione selettiva ambientale e vincoli strutturali interni. A tali meccanismi, tipici della selezione naturale, è necessario associare anche le regole dell’ereditarietà codificata nella molecole di DNA così come la presenza di geni invisibili e semplici regole che contribuiscono a dare forma agli animali e all’evoluzione. In altre parole, l’evoluzione, il DNA e i geni, essendo alla base dell’origine e dei mutamenti delle differenti forme naturali, agiscono in modo da eliminare le forme non adatte. Di conseguenza, ogni forma naturale dalla più semplice alla più complessa, essendo vincolata da leggi fisiche, può in linea di principio essere descritta matematicamente per mezzo di opportune formule.

Nel corso dei secoli, matematici e scienziati hanno sempre cercato di trovare l’equazione matematica che governa la geometria e le differenti forme della natura. In particolare, essendo affascinati da strutture regolari, essi hanno focalizzato l’attenzione nella ricerca di un’equazione semplice e comprensibile capace di creare forme e disegni che imitano la natura. Tale attività, ha assunto oggi un ruolo di fondamentale importanza in problemi di tipo biologico. Infatti, da un’attenta analisi della natura e del paesaggio si capisce che le forme della natura sono organizzate alcune volte secondo strutture geometriche perfette e in molti altri casi secondo geometrie meno riconoscibili che necessitano di un esame più approfondito [1-3]. Nel mondo vegetale ad esempio, i petali, i semi e gli elementi di infiorescenza dei fiori, le foglie e i rami degli alberi, le squame di una pigna sono molto spesso disposti seguendo particolari curve matematiche caratterizzate da un’occupazione ottimale dello spazio. Nel mondo animale invece, le conchiglie, le corna, le zanne, gli artigli, le orecchie, le code, il manto di animali pezzati possono essere modellati per mezzo di forme caratterizzate dalle proprietà di omogeneità e autosomiglianza. Sorprendentemente, anche elementi naturali inorganici come cicloni terrestri e marini così come le galassie che compongono l’universo possono essere descritti da curve e superfici modellabili matematicamente. Di conseguenza, è naturale porsi domande su cosa determina la forma di un oggetto e quale è la relazione tra forma e funzione matematica, e se la matematica può insegnarci qualcosa sulla natura oppure si adatta semplicemente alle forme naturali reali che pretende di descrivere. In tale contesto, la matematica rappresenta quindi un indispensabile strumento per conoscere i meccanismi che regolano relazioni e proporzioni, geometrie e forme di cui l’uomo, dall’antichità ad oggi, si è sempre servito per studiare, rappresentare e indagare la realtà.

Da sempre, le forme osservate in natura e la varietà delle configurazioni e strutture degli esseri viventi sono state stimolo di interessanti indagini scientifiche. Le antiche civiltà egiziana e babilonese svilupparono buone capacità di carattere aritmetico e geometrico basandosi sul metodo empirico che sfruttava le osservazioni ripetute per formulare regole. Fu solo con l’avvento della civiltà Greca che nacque un nuovo metodo di approccio alla matematica che, partendo da assiomi, utilizzava rigorosi ragionamenti per dimostrare teoremi. In tale contesto, la geometria rivestiva un ruolo di fondamentale importanza e di conseguenza lo studio delle varie forme naturali fu affrontato utilizzando semplici forme geometriche come sezioni coniche, superfici quadriche, cilindri, sfere, poligoni e poliedri. Dopo un lungo periodo buio per la matematica e la geometria, si arriva al XVI secolo durante il quale, rivisitando l’eredità greca, gli scienziati inventarono la geometria analitica e l’analisi matematica moderna. A partire da Cartesio la curva viene concepita come un insieme di punti le cui coordinate soddisfano un’equazione algebrica. Verso la fine del XVII secolo, grazie all’invenzione del calcolo infinitesimale da parte di Newton e Leibniz, il concetto di curva assunse un significato più generale, in quanto descritta da equazioni in cui sono presenti integrali e funzioni iperboliche. Infatti, Huygens, Leibniz, Bernoulli e Eulero scoprirono che le curve catenaria e isocrona sono le soluzioni di particolari problemi di ottimizzazione. Infine, dal XVIII secolo la teoria delle curve viene collocata all’interno di teorie più vaste come la geometria proiettiva, la geometria differenziale, l’analisi geometrica e la topologia.

A partire dagli inizi del ventesimo secolo, lo studio delle forme naturali ha subito una vera e propria rivoluzione in quanto basato sull’analisi dei fenomeni che sono alla base della generazione delle forme stesse, di cui i contributi storici più significativi sono rappresentati dai lavori di D’Arcy Thompson [1] e Alan Turing [4]. Tale approccio, è oggi inadeguato in quanto non è in grado di risolvere specifiche problematiche che si riscontrano nello studio delle differenze di forma. Di conseguenza, allo scopo di catturare la geometria complessiva delle forme biologiche, è stato recentemente sviluppato l’approccio della morfometria geometrica. In tale contesto, forme biologiche più complesse sono analizzate utilizzando l’analisi di Fourier ellittica [5-6], approcci basati su algoritmi che generano piante virtuali [7] o tecniche di modellazione dinamica [8-9]. Inoltre, con l’avvento della grafica e della visione computerizzate e grazie allo sviluppo di computer caratterizzati da enormi capacità computazionali, sono stati ideati e implementati sofisticati ed efficienti algoritmi così come metodi numerici per generare e rappresentare organismi e organi biologici. Purtroppo, anche l’approccio della morfometria geometrica presenta dei limiti in quanto introduce una sorta di variabilità che può diventare molto ampia anche nella descrizione di una singola specie. Infatti, gli algoritmi possono ad esempio generare perfettamente piante virtuali ma non possono descrivere esattamente piante reali. Pertanto, è molto più utile considerare un puro approccio geometrico capace di descrivere una grande varietà di forme geometriche per mezzo di una formula matematica semplice e generale.

Le superquadriche, sono molto utilizzate nella progettazione assistita al calcolatore per modellare una grande varietà di oggetti semplici come diamanti, cubi, cilindri, sfere e le varie forme intermedie. Esse, sono un’estensione delle superfici quadriche in cui è possibile modificare la forma rendendole tondeggianti o squadrate [10]. Allo scopo di incrementare i gradi di liberta e consentire quindi la modellizzazione di forme più complesse in modo abbastanza preciso, sono stati proposti nuovi metodi che includono le iperquadriche [11], le quadriche razionali [12] e ray-quadrics [13]. Sfortunatamente, nonostante le varie tecniche, le superquadriche non sono molto versatili per rappresentare le più comuni forme naturali in quanto sono limitate ad un sistema di assi ortogonali e sono incapaci di generare forme asimmetriche. Allo scopo di fornire una descrizione più generale e uniforme delle forme naturali, Johan Gielis (uno degli autori di questo articolo), seguendo l’approccio geometrico, ha proposto un’equazione matematica che è una generalizzazione del teorema di Pitagora e delle curve e superfici di Lamé per ogni tipo di simmetria [14]. Tale formula, può essere considerata uno strumento molto efficiente per generare curve e superfici che descrivono in modo univoco e uniforme un’ampia varietà di forme naturali come ad esempio molte tipologie di cellule animali e vegetali, fiori, conchiglie, ragnatele, foglie, stelle marine, cristalli, galassie e perfino l’universo relativistico [15-16]. Come le sezioni coniche, tramite le curve e superfici di Gielis ogni forma diventa commensurabile e simmetrica in perfetto accordo con i paradigmi della filosofia Greca e della geometria moderna (… continua a leggere l’articolo   La formula matematica che unifica le forme naturali …)

Luciano Mescia(Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell’Informazione, Politecnico di Bari, Italia), Diego Caratelli (The Antenna Company International, Heindhoven, Olanda), Pietro Bia (EmTeSys S.r.l, Bari, Italia) e Johan Gielis (Dipartimento di Bioingegneria, Università di Antwerp, Belgio)

Leggi l’articolo completo: Luciano Mescia, Diego Caratelli, Pietro Bia e Johan Gielis, La formula matematica che unifica le forme naturali e astratte, in Scienze e Ricerche n. 22, 1° febbraio 2016, pp. 29-36